جذر سوم راهنمایی!!!

در کتاب ریاضی سوم راهنمایی برای محاسبه جذر یک عدد ،روشی مطرح شده که: برخلاف  روش مطرح شده در پایه دوم راهنمایی که علی رغم تقریبی بودن با دلیل و برهان عنوان می شود ،حتی در راهنمای تدریس پایه سوم هم دلیلی برای روش گفته شده بیان نمی شود و این در حالی است که در پایه سوم روش دقیقی را برای محاسبه جذر اعداد اعمال می کنبم.

در این قسمت سعی می شود با دقت در روش جذر گرفتن پایه سوم راهنمایی دلیل آن را بیابیم و حتی با همان دیدگاه،  محاسبه ریشه های سوم ،چهارم و . . . نیز امکان پذیر باشد.

چنانچه امکان استفاده از فایل " pdf " را دارید برای مشاهده عکس ها و ذخیره مطلب

 اینجا

 کلیک کنید.

برای آغاز بحث جذر، عدد 2231 را با تقریب کم تر از "یک" بدست می آوریم.

الف) از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می کنیم.

به این ترتیب عدد 2231 در دو جزء  دیده می شود و همین جا می توانیم تشخیص دهیم که جواب جذر 2231 دو رقمی است.

بنابراین وقتی جذر تقریبی 22 را  4 در نظر می گیریم در واقع جذر تقریبی 2200 را  با تقریب کم تر از 10 و به روش قطع کردن 40 حدس زده ایم.

ب) در مرحله بعد جواب بدست آمده"4" را در 2 ضرب می کنیم"8" و بزرگترین عددی که می توانست در قرار بگیرد تا  حاصل   × 8  بیش تر از 631 نباشد را پیدا می کردیم.

بنابراین معادل همین کار را در سمت چپ انجام دهیم.

یعنی در واقع ما عدد 40 را دو برابر می کنیم و بزرگترین عددی که می تواند به عدد80 اضافه شود تا حاصل  ×( +80 )  بیش تر از 631 نباشد را پیدا می کنیم. 

و سرانجام با صرف نظر از رقم یکان عدد 631 و تقسیم آن بر 8 عدد داخل  را حدس می زدیم. لذا: درواقع جزء صحیح تقسیم 631 بر 80 را به عنوان رقم یکان پاسخ جذرمان پیشنهاد می کنیم.

بنابراین پاسخ جذر  با تقریب کم تر از :یک"   47=7+40 می باشد.

اما بیایید دقت کنیم با عدد مورد نظرمان "2231" چه کردیم؟

اولا: 1600 یا 40² را از 2231 کم کردیم .

ثانیا: 7×(7+80) یا 7×(7+40×2) را نیز از 2231 کم کردیم

به عبارتی دیگر ما در مجموع  7×(7+40×2)+40²      یا         7²+(7×40)2+40²         

را از 2231 کم کرده ایم ومجموع 40و 7 جواب جذر و عدد 22 هم باقی ماند

از طرفی  7²+(7×40)2+40²بسط ²(7+40) می باشد

به عبارت دیگر در جذر گرفتن: بسط دوجمله ایa+b)²=a²+2ab+b² )   به صورت                          a²+(2a+b)b مورد استفاده قرار می گیرد.

بنابر آنچه گذشت: روش مطرح شده در ریاضی سوم راهنمایی برای محاسبه یک جذر جلوه ای خیره کننده از انسجام و اختصار مربع های دو جمله ای نهفته است.  

برای مثال وقتی جواب یک جذر 141 می باشد،در فرایند جذر مربع 141 اینگونه از عددی که جذز گرفته می شود کم می شود:

²[1+(40+100)]=141²

1²+1(140)2+²(40+100)=

1²+1(140)2+40²+40(100)2+100²=

1(1+280)+40(40+200)+100²=

درنتیجه:  1(1+280)+40(40+200)+100²=141²

یعنی: در محاسبه  جذر عددی که پاسخ جذر آن 141 می باشد ابتدا، حاصل 100² سپش حاصل 40(40+200) وبعدحاصل 1(1+280) از آن کم می شود و باقیمانده به جا میماند

حال می خواهیم با استفاده از رابطه   a+b)²=a²+(2a+b)b ) ریشه دوم عدد 20000 را با تقریب کم تر از یک بدست آوریم

قتی از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می کنیم عدد 20000 در سه جزء دیده می شود پس حاصل جذر سه رقمی است و اولین عدد جواب در ارزش مکانی صدگان می نشیند. 

100 را دو برابر می کنیم         200=(100)2=2a

و سعی می کنیم مقدار b را در  2a+b)b)  حدس  بزنیم.

البته: به این نکته دقت می کنیم که عدد درون با ارزش مکانی دهگان ظاهر خواهد شد.

بنابراین: تا اینجا جواب 140 را بدست آورده ایم و باز همین طور ادامه می دهیم

280=(140)2=2a

و بار دیگر می خواهیم مقدار b را در  2a+b)b)  پیدا کنیم.

عددی بعدی با ارزش یکان ظاهر خواهد شد                                                 

بنابراین جواب جذر 141 و باقیمانده 119 است.

............................تعمیم...........................

برای ریشه سوم و ریشه چهارم و . . . نیز می توان چنین فرایندی را طی کرد

a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³  =  a³+(3a²+3ab+b²)b)

a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+3ab³+b⁴ = a⁴+(4a³+6a²b+3ab²+b³)b)

و . . .

مثال:ریشه سوم عدد 187643 را تا یک رقم اعشار  بدست می آوریم.

رابطه مد نظر ما:   a³+(3a²+3ab+b²)b

ون می خواهیم جواب تا یک رقم اعشار بدست آید باید (1×3) سه رقم اعشار داشته باشیم و برای رشه سوم سه رقم سه رقم جدا می کنیم.

پس جواب ما دورقمی و دارای یک رقم اعشار خواهد بود  "دهم/یکان ،  دهگان"

ریشه سوم 187 بیش تر از 5 و کم تر از 6 است. البته 5 در ارزش مکانی دهگان خواهد نشست.  

حال با توجه به a³+(3a²+3ab+b²)b مقادیر 3a²    و    3a را محاسبه می کنیم .۵۰=a

و سعی داریم: مقدار b را در  3a²+3ab+b²)b)  با ارزش مکانی یکان پیدا کنیم  

در این مرحله حدس زدن عدد بعدی راحت به نظر نمی رسد و باید گزینه هایی را امتحان کرد.

ابتدا عدد 5 را قرار می دهیم داریم:

41375=5(5²+5×150+7500)

که 41375 از 62643 کم تر است پس با 8 امتحان می کنیم

70112=8(8²+8×150+7500)

و این جواب از 62643 بیشتر است در نتیجه 8 مناسب نیست و عدد 7 را قرار می دهیم.

60193=7(7²+7×150+7500)

و 60193 از 62643 کم تر است لذا 7 عدد صحیح است.

برای پیشروی در محاسبه بار دیگر مقادیر 3a²    و    3a  را محاسبه می کنیم

البته تا اینجا جواب 57 را بدست آورده ایم پس a را 57 در نظر می گیریم.

و بایستی عدد جدید را با ارزش مکانی دهم حدس بزنیم

بنابراین ریشه سوم 187643 تا یک روش اعشار 2/57 می باشد و باقیمانده نیز 752/493 می باشد.

در ضمن با رسم شکل نیز می توان برای نحوه محاسبه ریشه دوم و ریشه سوم اعداد به همین روش که به کمک عبارات جبری بیان شد دست یافت.

 مناسب است به این نکته نیز اشاره کنم که:اگر جذر عددی مانند A را a محاسبه کرده باشیم.  " اگر  a  عددی اعشاری باشد از ممیز آن برای این بخش از امتحان جذر صرف نظر می شود" در این صورت باقیمانده این جذر باید کم تر از  2a+1   باشد زیرا:  

a+1)²=a²+2a+1 ) بنابراین:

  a+1)²-a²=2a+1)

و یا: در محاسبه ریشه سوم باقیمانده باید از باقیمانده  a+1)³-a³ )  کم تر باشد

پس در محاسبه ریشه سوم باقیمانده : باید از مجموع (سه برابر مربع جواب بدست آمده با سه برابر جواب بدست آمده و عدد  یک ) کم تر باشد. 

 دانش آموزان عزیز هر سوالی داشته باشند در قسمت نظرات مطرح نمایند